Uno dei matematici che ha risolto il "problema dei cinquant'anni" ha spiegato cosa li ha aiutati nel loro lavoro

I matematici di Nižnij Novgorod, Ivan Remizov e Oleg Galkin, in rappresentanza della Scuola Superiore di Economia, hanno risolto un problema con cui i loro colleghi di tutto il mondo si confrontano da 57 anni! Per la prima volta, sono riusciti a descrivere teoricamente la velocità con cui, nel teorema del matematico americano Paul Chernow, i valori approssimati convergono al risultato esatto a seconda dei parametri selezionati. Faccio subito notare che la frase precedente è una spiegazione estremamente semplificata delle complesse formulazioni matematiche degli scienziati, e quindi abbiamo chiesto a uno di loro, Ivan Remizov, di aiutarci almeno un po' a comprendere il risultato del loro lavoro.

Molti problemi di fisica teorica e matematica richiedono calcoli precisi di valori specifici complessi, i cosiddetti semigruppi di operatori. Citeremo solo i più semplici di questi problemi: la velocità con cui si raffredda una tazza di caffè, la velocità con cui si diffonde il calore in un motore o il comportamento di una particella quantistica. Il percorso verso la soluzione più efficace a questi problemi ha già richiesto decenni.

– Ivan, per prima cosa racconta ai nostri lettori la storia della questione.

- Gli scienziati sanno fin dai primi anni '30 che per calcolare valori esatti, ad esempio nella fisica quantistica, che stava appena iniziando a svilupparsi, sono necessari calcoli di un oggetto matematico come un semigruppo di operatori, - afferma Ivan Remizov. - Un semigruppo di operatori è una costruzione complessa che descrive l'evoluzione dei sistemi multiparticellari. Se conosciamo il semigruppo di un sistema, possiamo prevedere tutti gli stati futuri del sistema per ogni stato iniziale del sistema. In senso figurato, possiamo dire che il semigruppo di un sistema rappresenta il suo destino: ogni sistema ha esattamente un semigruppo e indica cosa accadrà al sistema dal momento attuale fino alla fine della sua esistenza. È anche giusto considerare che il semigruppo di operatori sia una generalizzazione del concetto scolastico di "esponente" per il caso di dimensione infinita.

Nel caso di sistemi molto complessi descritti dai cosiddetti operatori illimitati, i metodi standard per il calcolo dei semigruppi smettono di funzionare. La soluzione a questo problema fu proposta nel 1968 dal matematico americano Paul Chernoff. Il suo metodo si basa su approssimazioni successive, ovvero passaggi successivi, con ognuno dei quali il risultato diventa più accurato. Le approssimazioni di Chernoff si basano sulla funzione di Chernoff. In altre parole, invece di trovare un semigruppo (un compito difficile), si può prima trovare la funzione di Chernoff (un compito più semplice) e poi usarla per costruire approssimazioni del semigruppo con accuratezza arbitraria. Così, il metodo di Paul Chernoff per trovare un semigruppo di operatori fu trovato nel 1968. Ma la rapidità con cui questi passaggi portano a un risultato è rimasta poco chiara, sebbene siano state condotte ricerche da scienziati di tutto il mondo.

– Era questo il problema che dovevi risolvere da 57 anni? – Chiedo a Ivan Remizov.

- Sì, abbiamo trovato le condizioni in base alle quali possiamo determinare la velocità di convergenza di una particolare funzione di Chernoff. Questo è esattamente ciò che abbiamo riportato il 5 luglio alla Conferenza Internazionale "Teoria delle Funzioni e le Sue Applicazioni". I risultati del nostro lavoro sono stati pubblicati anche sull'Israel Journal of Mathematics. Il metodo di Paul Chernoff garantiva che le approssimazioni successive avrebbero portato alla risposta corretta, ma non mostrava la velocità con cui ciò sarebbe avvenuto. È stata proprio questa incertezza a impedire l'applicazione pratica del metodo. Oleg Galkin e io abbiamo trovato condizioni importanti in questo caso, ovvero che dobbiamo chiedere condizionatamente alla funzione di Chernoff di mostrare una buona velocità di approssimazione. Abbiamo quindi creato un teorema che può essere considerato un "rafforzamento" del teorema di Chernoff. E grazie a esso, possiamo costruire tali funzioni di Chernoff, perché almeno è chiaro quali condizioni la funzione di Chernoff deve soddisfare affinché la velocità di approssimazione sia elevata.

- È possibile dare una spiegazione in senso figurato? Per così dire, "per casalinghe"?

- Quando mi chiedono di spiegare l'essenza della nostra scoperta in termini più semplici, paragono la situazione a una ricetta di cucina. Nel 1968, Paul Chernoff indicò i passaggi necessari, ma non spiegò esattamente come selezionare gli ingredienti ottimali: le cosiddette funzioni ausiliarie di Chernoff, da cui dipende il risultato. Pertanto, era impossibile prevedere con precisione la velocità di preparazione del piatto. Per 57 anni, tutti hanno cucinato come meglio potevano. Abbiamo perfezionato questa ricetta e determinato quali ingredienti sono più adatti e quanto tempo ci vuole per cucinare il piatto. Ora, grazie alla nostra ricetta, gli istituti di ricerca di tutto il mondo saranno in grado di cucinare il piatto "semi-gruppo di operatori" più velocemente.

– Potresti usare un esempio semplice per mostrare come si potrebbe applicare questa formula?

- Questo lavoro è teorico, ma, naturalmente, in futuro potrà essere applicato ovunque sia richiesto l'uso di un semigruppo di operatori, ad esempio dove sia necessario il calcolo degli stati futuri di un sistema dinamico lineare. Questo può essere utile in termodinamica, in meccanica quantistica e scienza dell'informazione quantistica, nella teoria del controllo, nei problemi di trasporto.

– Puoi spiegare il metodo utilizzando l’esempio di una tazza di caffè freddo?

- Il calcolo del semigruppo per questo sistema termodinamico permette di prevedere il futuro di tutti i profili di temperatura: quale sarà la temperatura del caffè in minuti, in un'ora, in un giorno. In questo caso, la tazza potrebbe essere riscaldata in modo non uniforme, potrebbe esserci un riscaldamento o un raffreddamento esterno. Se il semigruppo è noto, allora per qualsiasi distribuzione iniziale di temperatura, è possibile determinare le distribuzioni future tramite calcoli, e non semplicemente osservando e aspettando.

– Quanto tempo hai impiegato per risolvere questo problema?

- Un bel po' di tempo. E sai, la mia seconda specializzazione - psicologa-psicoterapeuta - ci ha aiutato in parte.

– Cioè, dalla psicologia si può trarre un ponte diretto verso la soluzione del teorema di Chernov?

– Non c'è un collegamento diretto, ma ho immaginato chi avesse risolto questi problemi prima di me. Mi sono chiesto perché avessero fallito e ho costruito le mie soluzioni su un piano diverso. L'idea principale è questa: sono tutte persone molto intelligenti e molto qualificate, quindi hanno tutte utilizzato tecniche avanzate e potenti. Alla fine, ho pensato che non fossero in grado di trovare la risposta giusta perché semplicemente non riuscivano a immaginare che il risultato potesse essere ottenuto in un modo più semplice e, di conseguenza, il metodo più semplice è rimasto inesplorato per tutti questi anni. Così ho iniziato a risolvere il problema in modo semplice e ho fatto progressi. Poi ho chiesto aiuto a Oleg Galkin e insieme abbiamo dimostrato il teorema. Il punto chiave della dimostrazione è una semplice formula algebrica per esprimere X^nY^n, che chiamo decomposizione di Galkin; puoi trovare maggiori dettagli nel nostro articolo scientifico .

Pubblicato sul quotidiano "Moskovsky Komsomolets" n. 29561 del 14 luglio 2025

Titolo del giornale: Un enigma matematico attraverso gli occhi di uno psicologo