O Mistério das Mãos Giratórias, um Problema Matemático de Cinquenta Anos, Finalmente Resolvido

Os matemáticos têm um talento especial para fazer perguntas simples que levarão anos para serem resolvidas. Dois deles acabaram de resolver um problema proposto há cinquenta anos, mas que se origina de uma conjectura com mais de um século. Em 1917, o matemático japonês Soichi Kakeya (1886-1947) estudou as superfícies percorridas pelo giro de uma agulha sobre uma mesa e se perguntou qual seria a menor. O primeiro reflexo foi girá-la de acordo com o centro da agulha, que cobria um disco. A segunda ideia foi fazer um movimento de 60 graus em um ponto, depois 60 graus na direção oposta no outro ponto e concluir com um movimento final de 60 graus: isso desenha um triângulo equilátero, com uma área de superfície menor que a do disco. O próprio Kakeya encontrou uma estratégia duas vezes mais eficaz que a do disco, com uma superfície deltoide, um triângulo cujos lados são curvados para dentro.

Dois anos depois, o russo Abram Besicovitch (1891-1970) "matou" o jogo ao encontrar um método que permitia reduzir a área da superfície o máximo possível. Uma variação, por outro matemático, alcançou o mesmo resultado com superfícies eriçadas de espinhos, como arbustos. Em 1928, Besicovitch fez ainda melhor ao demonstrar que era possível construir uma superfície contendo todas as direções possíveis da agulha e que tivesse uma área de... zero! Para compreender essa estranheza, deve-se notar que, para os matemáticos, um ponto, a agulha de Kakeya (um segmento) ou uma reta curva não têm área. Uma espiral muito fechada pode, portanto, cobrir um disco com área de superfície zero. Voltaremos a esse assunto.

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